확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

연속확률변수 평균

문제

양수 aa에 대하여 연속확률변수 XX가 갖는 값의 범위가 0≤X≤a0 \leq X \leq a이고 확률밀도함수는 f(x)=2e−xf ( x ) = 2 e ^{-x}이다. 확률변수 XX의 평균이 E(X)=p−ln⁡q{\mathrm{E}} ( X ) = p - \ln q일 때, 10p+q10 p + q의 값을 구하시오.(단, ee는 자연로그의 밑이고, pp와 qq는 자연수이다.) [4점]

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1212

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해설

[출제의도] 연속확률변수의 평균을 구할 수 있는지 묻는 문제이다. ∫0a2e−xdx=\displaystyle \int _{0} ^{a} {2 e ^{- x} dx} =[−2e−x]0a=1\left[ - 2 e ^{- x} \right] _{0} ^{a} = 1에서 a=ln⁡2a = \ln 2이다. E(X)=∫0ln⁡22xe−xdx=[−2xe−x]0ln⁡2+∫0ln⁡22e−xdx\displaystyle {\mathrm{E}} ( X ) = \int _{0} ^{\ln 2} {2 xe ^{- x} dx} = \left[ - 2 xe ^{- x} \right] _{0} ^{\ln 2} + \int _{0} ^{\ln 2} {2 e ^{- x} dx} =1−ln⁡2= 1 - \ln 2 ∴\therefore 10p+q=1210 p + q = 12

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#연속확률변수#부분적분

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