연속함수와 극한 조건의 삼차함수

함수 $g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x = t$에서도 연속이다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow t -} {g \left( x \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow t +} {g \left( x \right)}$$= g \left( t \right)$ 이어야 하고, $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} - f \left( x \right) & & \left( x < t \right) \\ f \left( x \right) & & \left( x \geq t \right) \end{cases}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow t -} {g \left( x \right)}$$= - f \left( t \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow t +} {g \left( x \right)}$$= f \left( t \right)$ $g \left( t \right) = f \left( t \right)$ 에서 $- f \left( t \right) = f \left( t \right)$ $\therefore$ $f \left( t \right) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 한편 조건 (가)에서 모든 실수 $a$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {\frac{g \left( x \right)}{x \left( x - 2 \right)}}$의 값이 존재하므로 분모가 $0$이 되는 $x$의 값에 대하여도 극한값이 존재하여야 한다. 방정식 $x \left( x - 2 \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 즉, $a = 0$, $a = 2$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {\frac{g \left( x \right)}{x \left( x - 2 \right)}}$에서 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. $\therefore$ $g \left( 0 \right) = 0$, $g \left( 2 \right) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이때 $g \left( c \right) = 0$ ($c$는 상수)이면 $f \left( c \right) = 0$, $- f \left( c \right) = 0$ 즉, $g \left( c \right) = 0$이면 $f \left( c \right) = 0$이므로 ㉡에 의하여 $f \left( 0 \right) = 0$ 또는 $f \left( 2 \right) = 0$ 함수 $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이므로 $f \left( x \right) = kx \left( x - 2 \right) \left( x - \alpha \right)$ ($k > 0$이고, $\alpha$는 상수) 라 놓을 수 있고, ㉠에 의하여 $t = 0$ 또는 $t = 2$ 또는 $t = \alpha$ (ⅰ) $t = 0$일 때 $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} - kx \left( x - 2 \right) \left( x - \alpha \right) & & \left( x < 0 \right) \\ kx \left( x - 2 \right) \left( x - \alpha \right) & & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}$ $m$은 자연수이므로 조건 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow m +} {\frac{g \left( x \right)}{x \left( x - 2 \right)}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow m +} {\frac{kx \left( x - 2 \right) \left( x - \alpha \right)}{x \left( x - 2 \right)}}$ $= k \left( m - \alpha \right)$ (a) $m = 2$이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{g \left( x \right)}{x \left( x - 2 \right)}}$$= k \left( 2 - \alpha \right)$ 이 값이 음수이려면 $\alpha > 2$ (b) $m \ne 2$이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow m +} {\frac{g \left( x \right)}{x \left( x - 2 \right)}}$$= k \left( m - \alpha \right)$ 이 값이 음수이려면 $\alpha > m$ 자연수 $m$의 집합의 원소의 개수는 $2$이므로 (a), (b)에 의하여 집합은 $\left\{ 1 , 2 \right\}$이고, $2 < \alpha \leq 3$이다. $g \left( - 1 \right) = 1$, $\displaystyle - \frac{7}{2} g \left( 1 \right) = 2$이면 $3 k \left( 1 + \alpha \right) = 1$, $\displaystyle - \frac{7}{2} k \left( \alpha - 1 \right) = 2$ 에서 $\displaystyle \alpha = - \frac{5}{19}$이므로 조건을 만족하지 않는다. 또한, $g \left( - 1 \right) = 2$, $\displaystyle - \frac{7}{2} g \left( 1 \right) = 1$이면 $3 k \left( 1 + \alpha \right) = 2$, $\displaystyle - \frac{7}{2} k \left( \alpha - 1 \right) = 1$ 에서 $\displaystyle \alpha = \frac{2}{5}$이므로 조건을 만족하지 않는다. (ⅱ) $t = 2$일 때 $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} - kx \left( x - 2 \right) \left( x - \alpha \right) & & \left( x < 2 \right) \\ kx \left( x - 2 \right) \left( x - \alpha \right) & & \left( x \geq 2 \right) \end{cases}$ (a) $m = 1$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow m +} {\frac{g \left( x \right)}{x \left( x - 2 \right)}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} \frac{- kx \left( x - 2 \right) \left( x - \alpha \right)}{x \left( x - 2 \right)}$$= k \left( \alpha - 1 \right)$ (b) $m = 2$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow m +} {\frac{g \left( x \right)}{x \left( x - 2 \right)}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} \frac{kx \left( x - 2 \right) \left( x - \alpha \right)}{x \left( x - 2 \right)}$$= k \left( 2 - \alpha \right)$ (c) $m \geq 3$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow m +} {\frac{g \left( x \right)}{x \left( x - 2 \right)}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow m +} \frac{kx \left( x - 2 \right) \left( x - \alpha \right)}{x \left( x - 2 \right)}$$= k \left( m - \alpha \right)$ (a), (b), (c)에서 이 값이 음수이려면 $\alpha - 1 < 0$, $2 - \alpha < 0$, $m - \alpha < 0$ 즉, $\alpha < 1$, $\alpha > 2$, $\alpha > m$이다. 이때 $\alpha < 1$, $\alpha > 2$는 동시에 성립하지 않고, $\alpha < 1$이면 자연수 $m$의 집합의 원소의 개수는 $1$이므로 성립하지 않는다. 따라서 $\alpha > 2$이고, 자연수 $m$의 집합의 원소의 개수가 $2$이려면 $m \geq 3$에서 $m - \alpha < 0$이어야 한다. 즉, 자연수 $m$의 집합은 $\left\{ 2 , 3 \right\}$이고, $3 < \alpha \leq 4$이다. $g \left( - 1 \right) = 2$, $\displaystyle - \frac{7}{2} g \left( 1 \right) = 3$이면 $3 k \left( 1 + \alpha \right) = 2$, $\displaystyle \frac{7}{2} k \left( \alpha - 1 \right) = 3$ 에서 $\alpha = - 8$이므로 조건을 만족하지 않는다. 또한, $g \left( - 1 \right) = 3$, $\displaystyle - \frac{7}{2} g \left( 1 \right) = 2$이면 $3 k \left( 1 + \alpha \right) = 3$, $\displaystyle \frac{7}{2} k \left( \alpha - 1 \right) = 2$ 에서 $\displaystyle \alpha = \frac{11}{3}$, $\displaystyle k = \frac{3}{14}$ $\therefore$ $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{3}{14} x \left( x - 2 \right) \left( x - \frac{11}{3} \right)$ (ⅲ) $t = \alpha$일 때 $g \left( x \right)$$\displaystyle = \begin{cases} - kx \left( x - 2 \right) \left( x - \alpha \right) & & \left( x < \alpha \right) \\ kx \left( x - 2 \right) \left( x - \alpha \right) & & \left( x \geq \alpha \right) \end{cases}$$= kx \left( x - 2 \right) \left| x - \alpha \right|$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow m +} {\frac{g \left( x \right)}{x \left( x - 2 \right)}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow m +} \frac{kx \left( x - 2 \right) \left| x - \alpha \right|}{x \left( x - 2 \right)}$$= k \left| m - \alpha \right|$ 이 값은 항상 $0$이상이므로 조건 (나)를 만족하지 않는다. 이상에서 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{3}{14} x \left( x - 2 \right) \left( x - \frac{11}{3} \right)$이고, $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} - f \left( x \right) & & \left( x < 2 \right) \\ f \left( x \right) & & \left( x \geq 2 \right) \end{cases}$ 따라서 구하는 값은 $g \left( - 5 \right)$$= - f \left( - 5 \right)$ $\displaystyle = - \frac{3}{14} \times \left( - 5 \right) \times \left( - 7 \right) \times \left( - \frac{26}{3} \right)$ $= 65$