연속함수의 결정

[출제의도] 함수의 연속의 성질을 이용하여 함수를 구할 수 있는가? $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{3} - \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} - x ^{2} f \left( x \right) + x ^{2}$$= 0$에서 $\left\{ f \left( x \right) - x \right\} \left\{ f \left( x \right) + x \right\} \left\{ f \left( x \right) - 1 \right\} = 0$ 이므로 $f \left( x \right) = 1$, $f \left( x \right) = \mathit{-} x$, $f \left( x \right) = x$ 이때, $f \left( 0 \right)$$= 1$ 또는 $f \left( 0 \right)$$= 0$이다. (ⅰ) $f \left( 0 \right)$$= 1$일 때, 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고, 최댓값이 $1$이므로 $f \left( x \right)$$= 1$ 이다. 이때, 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값이 $0$이 아니므로 주어진 조건을 만족시키지 못한다. (ⅱ) $f \left( 0 \right)$$= 0$일 때, 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고, 최댓값이 $1$이므로 $f \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \left| x \right| & \left( \left| x \right| \leq 1 \right) \\ \begin{aligned} \\ 1 \end{aligned} & \begin{aligned} \\ \left( \left| x \right| > 1 \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $f \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \left| x \right| & \left( \left| x \right| \leq 1 \right) \\ \begin{aligned} \\ 1 \end{aligned} & \begin{aligned} \\ \left( \left| x \right| > 1 \right) \end{aligned} \end{cases}}$

따라서 $\displaystyle f \left( - \frac{4}{3} \right) = 1$, $f \left( 0 \right) = 0$, $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle f \left( - \frac{4}{3} \right) + f \left( 0 \right) + f \left( \frac{1}{2} \right)$$\displaystyle = 1 + 0 + \frac{1}{2}$$\displaystyle = \frac{3}{2}$