연속함수 평균변화율

조건 (가)에서 $0 < x \leq 12$일 때 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{ax}{\sqrt{2 x + 1} - 1}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $f \left( 0 \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} \frac{ax \left( \sqrt{2 x + 1} + 1 \right)}{\left( \sqrt{2 x + 1} - 1 \right) \left( \sqrt{2 x + 1} + 1 \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} \frac{ax \left( \sqrt{2 x + 1} + 1 \right)}{2 x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} \frac{a \left( \sqrt{2 x + 1} + 1 \right)}{2} = a$ ㉠에 의하여 $\displaystyle f \left( 12 \right) = \frac{12 a}{\sqrt{2 \times 12 + 1} - 1} = 3 a$ 조건 (나)에서 모든 실수 $k$에 대하여 $\displaystyle \frac{f \left( k + 12 \right) - f \left( k \right)}{\left( k + 12 \right) - k} = \frac{1}{2}$ $f \left( k + 12 \right) = f \left( k \right) + 6$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉡의 양변에 $k = 0$을 대입하면 $f \left( 12 \right) = f \left( 0 \right) + 6$, $3 a = a + 6$에서 $a = 3$ ㉠에 의하여 $\displaystyle f \left( 4 \right) = \frac{12}{\sqrt{2 \times 4 + 1} - 1} = 6$ 따라서 ㉡에 의하여 $f \left( 28 \right) = f \left( 16 \right) + 6 = \left( f \left( 4 \right) + 6 \right) + 6 = 18$