연속하지 않는 수 빈칸

[출제의도] 순열과 조합 추론하기 $n$개의 공이 들어 있는 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는 경우는 ‘(ⅰ) 주머니에서 세 개의 공을 꺼내는 경우’에서 ‘(ⅱ) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수가 모두 연속되는 경우’와 ‘(ⅲ) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 두 수만 연속되는 경우’를 제외하면 된다. (ⅰ)의 경우 : $n$개의 공이 들어 있는 주머니에서 세 개의 공을 꺼내는 경우의 수는 ${} _{n} \mathrm{C} _{3}$이다. (ⅱ)의 경우 : 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수가 모두 연속되는 경우의 수는 $\left( n - 2 \right)$이다. (ⅲ)의 경우 : 연속되는 두 수 중 하나가 $1$인 경우는 $2$는 반드시 포함되어야 하고 $3$은 포함되지 않아야 하므로 경우의 수는 $\left. {\square {n - 3 _{} ^{}}} \right.$이고, 마찬가지로 연속되는 두 수 중 하나가 $n$인 경우의 수도 $\left. {\square {n - 3 _{} ^{}}} \right.$이다. 또한 연속되는 두 수가 $k$, $k + 1$($k = 2$, $3$, $\cdots$, $n - 2$)라 하면 이 경우의 수는 $\left( n - 3 \right)$이고, 각각의 경우에 $k$, $k + 1$과 연속되지 않는 수가 적혀 있는 하나의 공을 더 선택하는 경우의 수는 $\left( n - 4 \right)$이므로 연속되는 두 수 중 어느 하나도 $1$과 $n$이 아닌 경우의 수는 $\left. {\square {\left( n - 3 \right) \left( n - 4 \right) _{} ^{}}} \right.$이다. 따라서 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 두 수만 연속되는 경우의 수는 $2 \times \left( \left. {\square {n - 3 _{} ^{}}} \right. \right) + \left. {\square {\left( n - 3 \right) \left( n - 4 \right) _{} ^{}}} \right.$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $n$개의 공이 들어 있는 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{n \left( n - 1 \right) \left( n - 2 \right)}{6} - \left( n - 2 \right) - \left\{ 2 \left( n - 3 \right) + \left( n - 3 \right) \left( n - 4 \right) \right\}$ $\displaystyle = \left. {\square {\frac{\left( n - 2 \right) \left( n - 3 \right) \left( n - 4 \right) ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}{6 _{} ^{}}}} \right.$이다. $\therefore$ $p \left( n \right) = n - 3$, $q \left( n \right) = \left( n - 3 \right) \left( n - 4 \right)$, $r \left( n \right) =$$\displaystyle \frac{\left( n - 2 \right) \left( n - 3 \right) \left( n - 4 \right)}{6}$ 따라서 $\displaystyle \frac{p \left( 18 \right) \times q \left( 17 \right)}{r \left( 16 \right)} = \frac{15 \times ( 14 \times 13 )}{\frac{14 \times 13 \times 12}{6}} = \frac{15}{2}$