연속 조건으로 구하는 f(7)

함수 $f \left( x \right) g \left( x \right)$가 $x = 2$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} f \left( x \right) g \left( x \right) = f \left( 2 \right) g \left( 2 \right)$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{f \left( x \right)}{x - 2} = 3 f \left( 2 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{f \left( x \right)}{x - 2} = 3 f \left( 2 \right)$에서 $x \rightarrow 2$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {f \left( 2 \right)} = 0$이므로 $f \left( 2 \right) = 0$ $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{f \left( x \right)}{x - 2} = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이고 $f \left( 2 \right) = 0$이므로 $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( x - k \right)$ ($k$는 상수) 라 하면 ㉠의 좌변에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{\left( x - 2 \right) \left( x - k \right)}{x - 2} = \lim\limits _{x \rightarrow 2} \left( x - k \right) = 2 - k$ 따라서 $2 - k = 0$이므로 $k = 2$ 따라서 $f \left( x \right)$$= \left( x - 2 \right) ^{2}$이므로 $f \left( 7 \right)$$= \left( 7 - 2 \right) ^{2}$$= 25$