미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

연속 조건 미정계수

문제

$f ( 1 ) = 2$ , $f' ( 1 ) = 3$ 을 만족하는 미분가능한 함수 $f ( x )$ 에 대하여 함수 $g ( x )$ 를 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} \begin{aligned} \frac{axf ( x ) - 2 a}{x - 1} \\ \end{aligned} & \begin{aligned} ( x \ne 1 ) \\ \end{aligned} \\ 9 & ( x = 1 ) \end{cases}}$ 로 정의하자. 함수 $g ( x )$ 가 $x = 1$ 에서 연속일 때, 상수 $a$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{3}{2}$ ② $\displaystyle \frac{2}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{5}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{2}{5}$ ⑤ $\displaystyle \frac{9}{5}$

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⑤

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해설

$g ( x )$ 가 $x = 1$ 에서 연속이므로 연속의 정의에 의해서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} f ( x ) = f ( 1 )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{axf ( x ) - 2 a}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} a \frac{x \times f ( x ) - 1 \times f ( 1 )}{x - 1}$ $= a \left\{ xf ( x ) \right\}' _{x = 1}$ $= a \left\{ f ( 1 ) + f' ( 1 ) \right\}$ $= 5 a = 9$ $\displaystyle \therefore a = \frac{9}{5}$

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