대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

연속 곱 수열 귀납법

문제

자연수 NN에 대하여 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 an=n(n+1)(n+2)⋯(n+N−1)a _{n} = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) \cdots ( n + N - 1 )이라 하자. 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1nak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} =N+nN+1an\displaystyle = \frac{N + n}{N + 1} a _{n} ⋯⋯⋯\cdots \cdots \cdots (★) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (1) n=1n = 1일 때, (좌변)=∑k=11ak=a1\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{1} a _{k} = a _{1} == (가) (우변)== N+1N+1a1=a1\displaystyle \frac{N + 1}{N + 1} a _{1} = a _{1} == (가) 이므로 (★)이 성립한다. (2) n=mn = m일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 ∑k=1mak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k} =N+mN+1am\displaystyle = \frac{N + m}{N + 1} a _{m}이다. n=m+1n = m + 1일 때, (★)이 성립함을 보이자. ∑k=1m+1ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} a _{k}=N+mN+1am+\displaystyle = \frac{N + m}{N + 1} a _{m} + (나) =1N+1×(m+N)!(m−1)!+\displaystyle = \frac{1}{N + 1} \times \frac{( m + N ) !}{( m - 1 ) !} +(나) (다) =N+m+1N+1am+1\displaystyle = \frac{N + m + 1}{N + 1} a _{m + 1} 그러므로 n=m+1n = m + 1일 때도 (★)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 nn에 대하여 (★)이 성립한다.

(우변)== N+1N+1a1=a1\displaystyle \frac{N + 1}{N + 1} a _{1} = a _{1} == (가)

이므로 (★)이 성립한다. (2) n=mn = m일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 ∑k=1mak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k} =N+mN+1am\displaystyle = \frac{N + m}{N + 1} a _{m}이다. n=m+1n = m + 1일 때, (★)이 성립함을 보이자. ∑k=1m+1ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} a _{k}=N+mN+1am+\displaystyle = \frac{N + m}{N + 1} a _{m} + (나)

=1N+1×(m+N)!(m−1)!+\displaystyle = \frac{1}{N + 1} \times \frac{( m + N ) !}{( m - 1 ) !} +(나)

=1N+1\displaystyle = \frac{1}{N + 1}{\left\{ \right.(다) }\left. \right\} =N+m+1N+1am+1\displaystyle = \frac{N + m + 1}{N + 1} a _{m + 1} 그러므로 n=m+1n = m + 1일 때도 (★)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 nn에 대하여 (★)이 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가) (나) (다)
①N!N !(m+N)!m!\displaystyle \frac{( m + N ) !}{m !}(m+N−1)!m!\displaystyle \frac{( m + N - 1 ) !}{m !}
②(N+1)!( N + 1 ) !(m+N−1)!m!\displaystyle \frac{( m + N - 1 ) !}{m !}(m+N)!m!\displaystyle \frac{( m + N ) !}{m !}
③N!N !(m+N)!m!\displaystyle \frac{( m + N ) !}{m !}(m+N+1)!m!\displaystyle \frac{( m + N + 1 ) !}{m !}
④ (N+1)!( N + 1 ) !(m+N)!m!\displaystyle \frac{( m + N ) !}{m !}(m+N+1)!m!\displaystyle \frac{( m + N + 1 ) !}{m !}
⑤N!N !(m+N−1)!m!\displaystyle \frac{( m + N - 1 ) !}{m !}(m+N)!m!\displaystyle \frac{( m + N ) !}{m !}
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③

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해설

[출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 주어진 식 증명하기 (1) n=1n = 1일 때, (좌변)=∑k=11ak=a1\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{1} a _{k} = a _{1}== (우변)== N+1N+1a1=a1\displaystyle \frac{N + 1}{N + 1} a _{1} = a _{1}== 이므로 (★)이 성립한다. (2) n=mn = m일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 ∑k=1mak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k} =N+mN+1am\displaystyle = \frac{{N} + m}{N + 1} a _{m}이다. n=m+1n = m + 1일 때, (★)이 성립함을 보이자. ∑k=1m+1ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} a _{k}=N+mN+1am+\displaystyle = \frac{{N} + m}{{N} + 1} a _{m} + am+1a _{m + 1} =N+mN+1am+\displaystyle = \frac{{N} + m}{{N} + 1} a _{m} + (m+N)!m!\displaystyle \frac{( m + N ) !}{m !}

=1N+1×(m+N)!(m−1)!+\displaystyle = \frac{1}{N \mathit{+} 1} \times \frac{( m + N \mathit{)} !}{( m - 1 ) !} +(m+N)!m!\displaystyle \frac{( m + N ) !}{m !}

=1N+1\displaystyle = \frac{1}{N + 1}{\left\{ \right.(m+N+1)!m!\displaystyle \frac{( m + N \mathit{+} 1 ) !}{m !} }\left. \right\} =N+m+1N+1am+1\displaystyle = \frac{N + m + 1}{N + 1} a _{m + 1}

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#수학적 귀납법#빈칸 추론

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