공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

연립일차방정식 행렬

문제

실수 aa, bb에 대하여 이차정사각행렬 A=(1ab−1)\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & - 1 \end{pmatrix}}이다. xx, yy에 대한 연립일차방정식 A(xy)=(3x2y)\displaystyle A \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 3 x \\ 2 y \end{matrix} \end{array} \right)가 x=y=0x = y = 0 이외의 해를 가질 때, A4A ^{4}의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 연립일차방정식과 행렬 이해하기 (1ab−1)(xy)=(3x2y)\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & - 1 \end{pmatrix}} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 3 x \\ 2 y \end{matrix} \end{array} \right) {x+ay=3xbx−y=2y\displaystyle {\begin{cases} x + ay = 3 x & \\ bx - y = 2 y & \end{cases}} {−2x+ay=0bx−3y=0\displaystyle {\begin{cases} - 2 x + ay = 0 & \\ bx - 3 y = 0 & \end{cases}} (−2ab−3)(xy)=(00)\displaystyle {\begin{pmatrix} - 2 & a \\ b & - 3 \end{pmatrix}} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right)에서 행렬 (−2ab−3)\displaystyle {\begin{pmatrix} - 2 & a \\ b & - 3 \end{pmatrix}}의 역행렬이 존재하지 않으므로 6−ab=06 - ab = 0 A2=(1ab−1)(1ab−1)=(1+ab001+ab)=7E\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & - 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & - 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 + ab & 0 \\ 0 & 1 + ab \end{pmatrix}} = 7 E A4=49EA ^{4} = 49 E 따라서 모든 성분의 합은 9898

태그

#역행렬#케일리-해밀턴

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