연립이차부등식 해의 존재

$ax ^{2} - bx + c = 0$ 의 두 근을 $\alpha , \beta$$( \alpha < \beta )$라고 하면 $cx ^{2} - bx + a = 0$ 의 두 근은 $\displaystyle \frac{1}{\alpha} , \frac{1}{\beta}$$\displaystyle ( \frac{1}{\beta} < \frac{1}{\alpha} )$이다 $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{b}{a} > 0 , \alpha \beta = \frac{c}{a} > 0$ 이므로 $\alpha > 0 , \beta > 0$ $ax ^{2} - bx + c < 0 \leftrightarrow \alpha < x < \beta$ $\displaystyle cx ^{2} - bx + a < 0 \leftrightarrow \frac{1}{\beta} < x < \frac{1}{\alpha}$ ㄱ) $0 < \alpha < \beta < 1$ 이면 $\displaystyle 0 < \alpha < \beta < 1 < \frac{1}{\beta} < \frac{1}{\alpha}$ 이 되어서 연립부등식의 해는 없다 ㄴ) $1 < \alpha < \beta$ 이면 $\displaystyle 0 < \frac{1}{\beta} < \frac{1}{\alpha} < 1 < \alpha < \beta$ 이 되어서 연립부등식의 해는 없다 ㄷ) $0 < \alpha < 1 < \beta$ 이면 $\displaystyle 0 < \alpha \text{또는} \frac{1}{\beta} < 1 < \frac{1}{\alpha} \text{또는} \beta$ 이 되어서 해가 존재한다. ㄱ), ㄴ), ㄷ)에서 $ax ^{2} - bx + c = f ( x )$라 두면 $f ( 1 ) < 0$ 이어야 한다 $f ( 1 ) = a - b + c < 0$ $\therefore a + c < b$