연립이차방정식 실근 조건

$x - y = 3$에서 $y = x - 3$이므로 $x ^{2} - xy - y ^{2} = k$에 대입하면 $x ^{2} - x \left( x - 3 \right) - \left( x - 3 \right) ^{2} = k$에서 $x ^{2} - 9 x + k + 9 = 0$이다. 이차방정식 $x ^{2} - 9 x + k + 9 = 0$은 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식 $D = \left( - 9 \right) ^{2} - 4 \times 1 \times \left( k + 9 \right) > 0$이고 $45 - 4 k > 0$, $\displaystyle k < \frac{45}{4}$이다. 따라서 자연수 $k$의 최댓값은 $\mathrm{11}$이다.