연립이차방정식

$2 x ^{2} - 5 xy + 2 y ^{2} = \left( 2 x - y \right) \left( x - 2 y \right) = 0$이므로 $\displaystyle x = \frac{1}{2} y$ 또는 $x = 2 y$ (ⅰ) $\displaystyle x = \frac{1}{2} y$일 때 $4 x ^{2} - y ^{2}$$\displaystyle = 4 \times \left( \frac{1}{2} y \right) ^{2} - y ^{2}$$= y ^{2} - y ^{2} = 0$ 이므로 $4 x ^{2} - y ^{2} = 45$라는 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $x = 2 y$일 때 $4 x ^{2} - y ^{2} = 45$에서 $4 \times \left( 2 y \right) ^{2} - y ^{2} = 15 y ^{2} = 45$, $y ^{2} = 3$ $\displaystyle y = \sqrt{3}$ 또는 $\displaystyle y = - \sqrt{3}$ $\displaystyle y = \sqrt{3}$이면 $\displaystyle x = 2 \sqrt{3}$, $\displaystyle y = - \sqrt{3}$이면 $\displaystyle x = - 2 \sqrt{3}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\alpha > 0$, $\beta > 0$인 $\alpha$, $\beta$는 $\displaystyle \alpha = 2 \sqrt{3}$, $\displaystyle \beta = \sqrt{3}$ 따라서 $\displaystyle \alpha + \beta = 3 \sqrt{3}$