연립이차방정식

[출제의도] 미지수가 2개인 연립이차방정식 이해하기 $\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} {\begin{matrix} x ^{2} - y ^{2} = 6 & \cdots \cdots \text{㉠} \\ ( x + y ) ^{2} - 2 ( x + y ) = 3 & \cdots \cdots \text{㉡} \end{matrix}} \end{array} \right.$ 식 ㉡에서 $x + y = t$라 하면 $t ^{2} - 2 t - 3 = 0$이므로 $( t - 3 ) ( t + 1 ) = 0$ 즉, $t = 3$ 또는 $t = - 1$이다. 그러므로 $x + y = 3$ 또는 $x + y = - 1$이다. 한편, $x$, $y$는 양수이므로 $x + y = 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 식 ㉠을 인수분해하면 $( x + y ) ( x - y ) = 6$이므로 ㉢에 의해 $3 ( x - y ) = 6$이다. 따라서 $x - y = 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ 이다. ㉢+㉣을 계산하면 $2 x = 5$이므로 $\displaystyle x = \frac{5}{2}$이다. $\displaystyle x = \frac{5}{2}$를 ㉢에 대입하면 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$이다. 따라서 $20 xy = 25$이다. [다른풀이] $\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} {\begin{matrix} x ^{2} - y ^{2} = 6 & \cdots \cdots \text{㉠} \\ ( x + y ) ^{2} - 2 ( x + y ) = 3 & \cdots \cdots \text{㉡} \end{matrix}} \end{array} \right.$ $x + y = \alpha , xy = \beta$라 하면 $( x - y ) ^{2} = ( x + y ) ^{2} - 4 xy$이므로 $( x - y ) ^{2} = \alpha ^{2} - 4 \beta$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 식 ㉡에 의해 $\alpha ^{2} - 2 \alpha - 3 = 0$이 된다. 그러므로 $\alpha = 3$ 또는 $\alpha = - 1$이고 $x$, $y$는 양수이므로 $\alpha = 3$ 즉, $x + y = 3$이다. 따라서 식 ㉢은 $( x - y ) ^{2} = 9 - 4 \beta$이다. 또한, 식 ㉠을 제곱하면 $( x ^{2} - y ^{2} ) ^{2} = 6 ^{2}$이고, 등식을 정리하면 $( x + y ) ^{2} ( x - y ) ^{2} = 6 ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ 식 ㉣에 $x + y = 3$과 식 ㉢을 대입하면 $3 ^{2} ( 9 - 4 \beta ) = 6 ^{2}$이므로 $9 - 4 \beta = 4$ 즉, $\displaystyle \beta = \frac{5}{4}$이다. 따라서 $20 xy = 25$이다.