연립방정식으로 a²+b²

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계 및 곱셈공식 이해하여 활용하기 연립방정식에서 $a , b$는 $t$에 대한 이차방정식 $x + ty + t ^{2} = z$ 즉, $t ^{2} + yt + x - z = 0$의 두 근이다. 근과 계수와의 관계에 의하여 $a + b = - y$, $ab = x - z$ $a ^{2} + b ^{2} = ( a + b ) ^{2} - 2 ab = ( - y ) ^{2} - 2 x + 2 z$$= y ^{2} - 2 x + 2 z$ [다른 풀이] $\begin{cases} x + ay + a ^{2} = z \cdots \text{①} \\ x + by + b ^{2} = z \cdots \text{ ②} \end{cases}$ $\text{ ①} - \text{ ②}$ 하면 $( a - b ) y + ( a ^{2} - b ^{2} ) = 0$ $a \ne b$이므로 $a + b = - y \cdots \text{ ③}$ $\text{ ①} + \text{ ②}$ 하면 $2 x + ( a + b ) y + ( a ^{2} + b ^{2} ) = 2 z \cdots \text{ ④}$ $\text{ ③} \text{과} \text{ ④}$에서$a ^{2} + b ^{2}$$= y ^{2} - 2 x + 2 z$