연립방정식 해와 최대값

연립일차방정식을 행렬로 나타내면 $\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ ( b - 2 ) & - a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ $x = 0 , y = 0$ 이외의 해를 가지려면 $\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ b - 2 & - a \end{pmatrix}$의 역행렬이 존재하지 않아야 한다. $\therefore - a ^{2} - b ( b - 2 ) = 0$ $\therefore a ^{2} + b ( b - 2 ) = 0$ $a ^{2} + ( b - 1 ) ^{2} = 1$이므로 점 $( a , b )$가 나타내는 도형은 중심이 $( 0 , 1 )$, 반지름의 길이가 $1$인 원이다. 점 $( 0 , 1 )$에서 직선 $b - a = k$까지의 거리는 $d \leq 1$이어야 하므로 $\displaystyle d = \frac{| - 1 + k |}{\sqrt{2}} \leq 1$이다. $\displaystyle \therefore 1 - \sqrt{2} \leq k \leq 1 + \sqrt{2}$ $\displaystyle \therefore 1 - \sqrt{2} \leq b - a \leq 1 + \sqrt{2}$ $\therefore b - a$의 최대값은 $\displaystyle 1 + \sqrt{2}$