공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

연립방정식 해 조건 최대

문제

x,yx , y에 대한 연립방정식 (a−11b−41−a)(xy)=(00)\displaystyle \begin{pmatrix} a - 1 & & 1 \\ b - 4 & & 1 - a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} 이 x=y=0x = y = 0이외의 해를 갖도록 하는 두 실수 a,ba , b에 대하여 a+ba + b의 최댓값은? [4점] ①214\displaystyle \frac{21}{4}②112\displaystyle \frac{11}{2}③234\displaystyle \frac{23}{4}④66⑤254\displaystyle \frac{25}{4}

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①

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해설

[출제의도] 연립방정식을 행렬을 이용해 문제해결하기 주어진 연립방정식이 x=y=0x = y = 0이외의 해를 가지므로 D=(a−1)(1−a)−(b−4)=0D = ( a - 1 ) ( 1 - a ) - ( b - 4 ) = 0이다. 따라서, −(a−1)2=b−4- ( a - 1 ) ^{2} = b - 4 ⋯⋯\cdots \cdots ㉠이다. 이 때, a+b=ka + b = k ⋯⋯\cdots \cdots ㉡이라 하면 a+ba + b가 최대가 되는 경우는 아래 그림과 같이 직선 ㉡이 이차함수 ㉠의 그래프에 접하는 경우이다.

따라서, ㉡을 ㉠에 대입하여 정리한 aa에 대한 이차방정식 a2−3a+k−3=0a ^{2} - 3 a + k - 3 = 0에서 D=9−4(k−3)=0D = 9 - 4 ( k - 3 ) = 0이므로 k=214\displaystyle k = \frac{21}{4}이다.

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