연립 점화식 극한

ㄱ. $\displaystyle a _{n + 1} = - \frac{1}{2} b _{n} + \frac{3}{2}$ $\displaystyle b _{n + 1} = - \frac{1}{2} a _{n} + \frac{3}{2}$ 각 변을 빼면 $\displaystyle a _{n + 1} - b _{n + 1} = \frac{1}{2} ( a _{n} - b _{n} )$ $\therefore$ $\displaystyle a _{n} - b _{n} = ( a _{1} - b _{1} ) \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}$ ----㉠ 이 때, $a _{1} = b _{1}$이므로 $a _{n} - b _{n} = 0$ $\therefore$ $a _{n} = b _{n}$ (참) ㄴ. $a _{1} = 0$ , $b _{1} = 1$이므로 $\displaystyle a _{2} = - \frac{1}{2} b _{1} + \frac{3}{2} = 1$ $\displaystyle b _{2} = - \frac{1}{2} a _{1} + \frac{3}{2}$$\displaystyle = \frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle a _{3} = - \frac{1}{2} b _{2} + \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ 이 때, $a _{2} > a _{3}$이므로 옳지 않다. (거짓) ㄷ. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = \alpha$, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {}$$b _{n} = \beta$라 하고 각 변에 극한값을 취하면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n + 1}} = - \frac{1}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} + \frac{3}{2}$ $\displaystyle \alpha = - \frac{1}{2} \beta + \frac{3}{2}$ -----㉠ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n + 1}} = - \frac{1}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} + \frac{3}{2}$ $\displaystyle \beta = - \frac{1}{2} \alpha + \frac{3}{2}$ ----㉡ ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 $\alpha = \beta = 1$ (참) 따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.