영역에서 x+y 최댓값

[출제의도] 조건을 만족시키는 점이 나타내는 부등식의 영역을 이용하여 최댓값을 구한다. 점 $\mathrm{A}$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}'$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{\mathrm{A}' Q}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} \geq {\overline{\mathrm{A}' P}}$ 이고 (나)에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}}$$\leq 6$ 인 점 $\mathrm{Q}$가 존재하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{A' P}} \leq 6$ 이어야 한다. 주어진 조건을 모두 만족시키는 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\mathrm{P} \mathit{\left( x , y \right)}$ ($x > 0$, $y > 0$) 로 놓으면 $\displaystyle \mathrm{\overline{A' P}} \leq 6$에서 $\displaystyle \sqrt{x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2}} \leq 6$ ∴ $x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} \leq 36$ ($x > 0$, $y > 0$) 따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 영역 $D$는 그림과 같이 중심이 $\mathrm{A}' ( 0 , - 1 )$이고 반지름의 길이가 $6$인 원의 둘레와 그 내부를 포함하는 영역 중 제$1$사분면에 있는 부분이다. $x + y = k$로 놓고 직선 $x + y = k$가 영역 $D$와 만나도록 움직일 때, $y$절편 $k$가 최대가 되는 경우는 직선 $x + y = k$가 원 $x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} = 36$에 접할 때이다. 원의 중심 $( 0 , - 1 )$과 직선 $x + y - k = 0$ 사이의 거리가 반지름의 길이인 $6$과 같아야 하므로 $\displaystyle \frac{| - 1 - k |}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = 6$ $\displaystyle k + 1 = 6 \sqrt{2}$ (∵$k > 0$) ∴ $\displaystyle k = - 1 + 6 \sqrt{2}$ $p = - 1$, $q = 6$이므로 $p + q = 5$