영역 격자점 개수 합

[출제의도] 연립부등식의 영역과 수열을 이용하여 수열의 합 문제 해결하기 $n = 1$일 때,

$\displaystyle \frac{1}{2}$

$a _{1} = 1 + 1$ $n = 2$일 때,

$a _{2} = 1 + 1 + 2$ $n = 3$일 때,

$a _{3} = 1 + 1 + 2 + 2$ $n = 4$일 때,

$a _{4} = 1 + 1 + 2 + 2 + 3$ $\vdots$ 이다. 따라서 $n = 2 k - 1$일 때와 $n = 2 k$일 때로 나누어 $a _{n}$을 구하면 다음과 같다. ⅰ) $n = 2 k - 1$($k$는 자연수)일 때

$2 k - 4$ $2 k - 3$ $2 k - 2$ $2 k - 1$ $\mathit{k} - 2$ $\mathit{k} - 1$

$a _{2 k - 1} = 1 + 1 + 2 + 2 + \cdots + k + k$$\displaystyle = 2 \times \frac{k ( k + 1 )}{2}$$= k ^{2} + k$ ⅱ) $n = 2 k$($k$는 자연수)일 때,

$2 k - 3$ $2 k - 1$ $2 k - 2$

$a _{2 k} = 1 + 1 + 2 + 2 + \cdots + k + k + ( k + 1 )$ $\displaystyle = 2 \times \frac{k ( k + 1 )}{2} + k + 1$=$k ^{2} + 2 k + 1$ ⅰ), ⅱ) 에 의해 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( a _{2 k - 1} + a _{2 k} \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( 2 k ^{2} + 3 k + 1 \right)$$= 945$이다.