영화 흥행수입 로그

주어진 조건에서 50일 까지의 흥행 수입은 400억 원 이므로 $f ( 50 ) = a ( 1 - b ^{50} ) = 400$ $\cdots \cdots$(1) 또한, 100일 까지의 흥행 수입은 640억 원 이므로 $f ( 100 ) = a ( 1 - b ^{100} ) = a ( 1 - b ^{50} ) ( 1 + b ^{50} ) = 640$ $\cdots \cdots$(2) (1)식을 (2)식에 대입하면 $400 ( 1 + b ^{50} ) = 640$, $\displaystyle 1 + b ^{50} = \frac{640}{400} = \frac{8}{5}$ $\rightarrow$ $\displaystyle \therefore b ^{50} = \frac{3}{5} = \frac{6}{10}$ 양변에 상용로그를 취해 계산하면 $50 \log b = \log 6 - \log 10 = 0.30 + 0.48 - 1 = - 0.22$ $\displaystyle \therefore \log b = - \frac{0.22}{50} = - \frac{44}{10000} \rightarrow b = 10 ^{- \frac{44}{10000}}$ 이 여기서, 이 값을 (1)식에 대입하면 $\displaystyle a \left( 1 - \frac{3}{5} \right) = 400$ $\therefore a = 1000$ $\displaystyle f ( n ) = 1000 \left( 1 - 10 ^{- \frac{44}{10000} n} \right)$ $f ( n )$값이 800이상이 되는 $n$값을 구해주는 것이므로 $\displaystyle 1000 \left( 1 - 10 ^{- \frac{44}{10000} n} \right) \geq 800$ $\displaystyle \frac{2}{10} \geq 10 ^{- \frac{44}{10000} n} \rightarrow \frac{10}{2} \leq 10 ^{\frac{44}{10000} n}$ 양변에 상용로그를 취하면 $\displaystyle 1 - \log 2 = \frac{7}{10} \leq \frac{44}{10000} n$ $\displaystyle \therefore n \geq \frac{7000}{44} ima \geq 159.0909 \cdots$ 따라서 개봉 후 160일 후에 처음으로 흥행 수입이 800억을 넘어간다.