영 아닌 해 조건 자취

[출제의도] 연립일차방정식이 무수히 많은 해를 가질 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - y \\ y \end{pmatrix}$ ⇔ $\displaystyle \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ⇔ $\displaystyle \begin{pmatrix} a - 1 & 1 \\ b & a - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ $x = 0$, $y = 0$이외의 해를 가지려면 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix} a - 1 & 1 \\ b & a - 1 \end{pmatrix}$의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 $( a - 1 ) ^{2} - b = 0$ ∴ $b = ( a - 1 ) ^{2}$ 따라서 점 $( a , b )$가 그리는 도형을 좌표평면 위에 나타내면 ①과 같다.