대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

열전도 계수 로그 활용

문제

어느 세라믹 재료의 열전도 계수( $\kappa$ )는 적절한 실험 조건에서 일정하고, 다음과 같이 계산된다고 한다. $\displaystyle \kappa = C \frac{\log t _{2} - \log t _{1}}{T _{2} - T _{1}}$ (단, $C$ 는 $0$ 보다 큰 상수, $T _{1}$ ( ${}^\circ\mathrm{C}$ ), $T _{2}$ ( ${}^\circ\mathrm{C}$ )는 실험을 시작한 후 각각 $t _{1}$ (초), $t _{2}$ (초)일 때 세라믹 재료의 측정 온도이다.) 이 세라믹 재료의 열전도 계수를 측정하는 실험에서 실험을 시작한 후 $10$ 초일 때와 $20$ 초일 때의 측정 온도가 각각 $200 ^\circ\mathrm{C}$ , $202 ^\circ\mathrm{C}$ 이었다. 실험을 시작한 후 $x$ 초일 때 측정 온도가 $206 ^\circ\mathrm{C}$ 가 되었다. $x$ 의 값은? [3점] ① $70$ ② $80$ ③ $90$ ④ $100$ ⑤ $110$

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②

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해설

$10$ 초일 때와 $20$ 초일 때의 열전도계수를 구하면 $\displaystyle k = C \frac{\log t _{2} - \log t _{1}}{T _{2} - T _{1}} = C \frac{\log 20 - \log 10}{202 - 200}$ 이고 10초일 때와 $x$ 초일 때의 열전도계수를 구하면 $\displaystyle k = C \frac{\log t _{2} - \log t _{1}}{T _{2} - T _{1}} = C \frac{\log x - \log 10}{206 - 200}$ 이므로 $\displaystyle C \frac{\log 20 - \log 10}{202 - 200} = C \frac{\log x - \log 10}{206 - 200}$ $\displaystyle \frac{\left( \log 2 + 1 \right) - 1}{2} = \frac{\log x - 1}{6}$ $\displaystyle \frac{\log 2}{2} = \frac{\log x - 1}{6}$ $\displaystyle 6 \times \frac{\log 2}{2} = 6 \times \frac{\log x - 1}{6}$ $3 \mathrm{\log} 2 = \log x - 1$ $\mathrm{\log} 2 ^{3} + \log 10 = \log 80 = \log x$ $\therefore x = 80$

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