열차가 달린 거리

$3 km$를 달리는 시간을 $t$분이라 하면, $\displaystyle 3 = \int _{0} ^{t} \left( \frac{3}{4} t ^{2} + \frac{1}{2} t \right) dt$$\displaystyle = \left[ \frac{t ^{3}}{4} + \frac{t ^{2}}{4} \right] _{0} ^{t}$$\displaystyle = \frac{t ^{3}}{4} + \frac{t ^{2}}{4}$ $\therefore t ^{3} + t ^{2} = 12$$\rightarrow t ^{3} + t ^{2} - 12 = 0$ $( t - 2 ) ( t ^{2} + 3 t + 6 ) = 0$에서 $t ^{2} + 3 t + 6 > 0$이므로 $t = 2$ 따라서, $2$분 후에 $3 km$를 가고 $2$분 후의 속도는 $\displaystyle v ( 2 ) = \frac{3}{4} \times 2 ^{2} + \frac{1}{2} \times 2$$= 3 + 1 = 4$ 따라서, $5$분까지는 $3$분을 더 가야 하므로 $3 + 4 \times 3 = 15 ( km )$