역수를 취해 일반항 구하기

$a _{1} = 1 > 0$이고 $a _{n} > 0$이면 $a _{n + 1} > 0$이므로 모든 항이 양수이다. $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + 3 a _{n}}$의 양변의 역수를 취하면 $\displaystyle \frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1 + 3 a _{n}}{a _{n}} = \frac{1}{a _{n}} + 3$ 즉 수열 $\displaystyle \left\{ \frac{1}{a _{n}} \right\}$은 첫째항이 $1$, 공차가 $3$인 등차수열이므로 $\displaystyle \frac{1}{a _{n}} = 1 + 3 ( n - 1 ) = 3 n - 2$ $\displaystyle a _{k} = \frac{1}{25}$에서 $3 k - 2 = 25$ 따라서 $k = 9$이므로 답은 ③