대수등차수열과 등비수열AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역수를 취해 등차수열 만들기

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=12\displaystyle a _{1} = \frac{1}{2}, an+1=an1+2an\displaystyle a _{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + 2 a _{n}} (n=1n = 1, 22, 33, ⋯\cdots) 을 만족시킬 때, a10a _{10}의 값은? [3점] ①122\displaystyle \frac{1}{22}②121\displaystyle \frac{1}{21}③120\displaystyle \frac{1}{20}④119\displaystyle \frac{1}{19}⑤118\displaystyle \frac{1}{18}

정답 보기
③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

a1>0a _{1} > 0이고 an+1=an1+2an\displaystyle a _{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + 2 a _{n}}에서 모든 항이 양수이므로 양변의 역수를 취하면 1an+1=1+2anan=1an+2\displaystyle \frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1 + 2 a _{n}}{a _{n}} = \frac{1}{a _{n}} + 2 즉 수열 {1an}\displaystyle \left\{ \frac{1}{a _{n}} \right\}은 첫째항이 1a1=2\displaystyle \frac{1}{a _{1}} = 2, 공차가 22인 등차수열이므로 1an=2+2(n−1)=2n\displaystyle \frac{1}{a _{n}} = 2 + 2 ( n - 1 ) = 2 n, an=12n\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2 n} 따라서 a10=120\displaystyle a _{10} = \frac{1}{20} 답 ③

태그

#조화수열#점화식#역수

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 등차수열과 등비수열 문제 모음내신 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로