역수 조건과 대소

[출제의도] 세 실수의 대소 관계를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 조건 (가)에서 $\displaystyle \frac{1}{a} < \frac{1}{c}$이고 $a$, $c$가 양수이므로 $c < a$이다. 마찬가지로 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{1}{a} > 0$이고 $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{c} < \frac{1}{b}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{c} < \frac{1}{a} + \frac{1}{c} < \frac{1}{b}$에서 $\displaystyle \frac{1}{c} < \frac{1}{b}$이다. 따라서 $b$, $c$가 양수이므로 $b < c$에서 $b < c < a$이다. [다른 풀이] (가)에서 $\displaystyle \frac{1}{a} - \frac{1}{c} < 0$이고 $a$, $c$가 양수이므로 $ac > 0$이다. 그러므로 $\displaystyle c - a = ac \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{c} \right) < 0$가 되어 $c < a$.…㉠ (나)에서 $\displaystyle \frac{1}{a} < \frac{1}{b} - \frac{1}{c}$이고 $a$, $b$, $c$가 양수이므로 $\displaystyle 0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{b} - \frac{1}{c}$이고, $bc > 0$. 그러므로 $\displaystyle c - b = bc \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \right) > 0$가 되어 $c > b$.…㉡ ㉠, ㉡에 의해 $b < c < a$이다.