역수 합의 최솟값

[출제의도] 절대부등식의 최대 ․ 최소 이해하기 $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} = \frac{3}{xy}$ ……① $x > 0$, $y > 0$이므로 절대부등식의 성질에 의하여 $\displaystyle x + y \geq 2 \sqrt{xy}$ …… ② (단, 등호는 $x = y$일 때 성립) 그러므로 $( x + y ) ^{2} \geq 4 xy$이고 정리하면 $\displaystyle \frac{1}{xy} \geq \frac{4}{( x + y ) ^{2}}$ …… ③ ①, ②, ③에 의하여 $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{xy} \geq \frac{12}{( x + y ) ^{2}} = \frac{4}{3}$ 따라서 $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{4}{3}$ (별해) $x > 0$, $y > 0$이므로 절대부등식의 성질에 의하여 $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) ( x + y )$$\displaystyle = \frac{1}{3} \left( 2 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \right)$ $\displaystyle \geq \frac{1}{3} \left( 2 + 2 \sqrt{\frac{y}{x} \times \frac{x}{y}} \right) = \frac{4}{3}$ (단, 등호는 $x = y$일 때 성립) 따라서 최솟값은 $\displaystyle \frac{4}{3}$