역수 근 삼차방정식

[출제의도] 삼차방정식의 근의 성질을 이용하여 추론하기 $\alpha$가 삼차방정식 $x ^{3} + 2 x ^{2} + 3 x + 1 = 0$의 한 근이므로 $\alpha ^{3} + 2 \alpha ^{2} + 3 \alpha + 1 = 0$ 이다. $\alpha$는 $0$이 아니므로 양변을 $\alpha ^{3}$으로 나누면 $\displaystyle 1 + \frac{2}{\alpha} + \frac{3}{\alpha ^{2}} + \frac{1}{\alpha ^{3}} = 0$이므로 식을 정리하면 $\displaystyle \left( \frac{1}{\alpha} \right) ^{3} + \square {3} \times \left( \frac{1}{\alpha} \right) ^{2} + 2 \left( \frac{1}{\alpha} \right) + 1 = 0$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{1}{\alpha}$은 최고차항의 계수가 $1$인 $x$에 대한 삼차방정식 ${\square {x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x + 1}} = 0$ 의 한 근이다. 같은 방법으로 $\beta , \gamma$도 삼차방정식 $x ^{3} + 2 x ^{2} + 3 x + 1 = 0$의 근이므로 $\beta ^{3} + 2 \beta ^{2} + 3 \beta + 1 = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이고, $\gamma ^{3} + 2 \gamma ^{2} + 3 \gamma + 1 = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이다. $\beta$, $\gamma$는 $0$이 아니므로 식 ㉠, ㉡의 양변을 각각 $\beta ^{3}$, $\gamma ^{3}$으로 나누면 $\displaystyle 1 + \frac{2}{\beta} + \frac{3}{\beta ^{2}} + \frac{1}{\beta ^{3}} = 0$, $\displaystyle 1 + \frac{2}{\gamma} + \frac{3}{\gamma ^{2}} + \frac{1}{\gamma ^{3}} = 0$이므로 식을 정리하면 $\displaystyle \left( \frac{1}{\beta} \right) ^{3} + 3 \left( \frac{1}{\beta} \right) ^{2} + 2 \left( \frac{1}{\beta} \right) + 1 = 0$, $\displaystyle \left( \frac{1}{\gamma} \right) ^{3} + 3 \left( \frac{1}{\gamma} \right) ^{2} + 2 \left( \frac{1}{\gamma} \right) + 1 = 0$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{1}{\beta}$, $\displaystyle \frac{1}{\gamma}$은 최고차항의 계수가 $1$인 $x$에 대한 삼차방정식 $x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x + 1 = 0$의 근이다. 따라서 $\displaystyle \frac{1}{\alpha} , \frac{1}{\beta} , \frac{1}{\gamma}$을 세 근으로 갖는 최고차항의 계수가 $1$인 $x$에 대한 삼차방정식은 $x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x + 1 = 0$ 이다. 따라서 $p = 3$, $f ( 2 ) = 25$이므로 $p + f ( 2 ) = 28$이다.