역수 등차수열 최솟값

[출제의도] 절대부등식을 이용하여 문제 해결하기 세 수 $\displaystyle \frac{1}{a}$, $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{1}{b}$은 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$이고 $\displaystyle \frac{b}{a} > 0$이다. $a + 25 b$$\displaystyle = ( a + 25 b ) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)$$\displaystyle = 26 + \frac{25 b}{a} + \frac{a}{b}$ $\displaystyle \geq 26 + 2 \sqrt{\frac{25 b}{a} \times \frac{a}{b}} = 36$ (단, 등호는 $a ^{2} = 25 b ^{2}$, 즉 $a = 6$, $\displaystyle b = \frac{6}{5}$일 때 성립한다.) 따라서 $a + 25 b$의 최솟값은 $36$이다. [다른 풀이] 세 수 $\displaystyle \frac{1}{a}$, $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{1}{b}$은 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$이고, $\displaystyle b = \frac{a}{a - 1}$이다. 여기서 $a$, $b$의 부호가 같으므로 $a - 1 > 0$이다. $\displaystyle a + 25 b = a + \frac{25 a}{a - 1}$$\displaystyle = a + \frac{25 \left( a - 1 \right) + 25}{a - 1}$ $\displaystyle = a + 25 + \frac{25}{a - 1}$$\displaystyle = \left( a - 1 \right) + \frac{25}{a - 1} + 26$ $\displaystyle \geq 2 \sqrt{\left( a - 1 \right) \times \frac{25}{a - 1}} + 26$$\displaystyle = 2 \sqrt{25} + 26$ $= 36$ (단, 등호는 $\left( a - 1 \right) ^{2} = 25$, 즉 $a = 6$일 때 성립한다.) 따라서 $a + 25 b$의 최솟값은 $36$이다.