역함수와 원

$\alpha$, $\beta$는 $x$에 대한 방정식 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{k} x - 2$의 두 실근이므로 $\displaystyle g \left( \alpha \right) = \frac{1}{k} \alpha - 2$, $\displaystyle g \left( \beta \right) = \frac{1}{k} \beta - 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 함수 $g \left( x \right)$의 역함수가 존재하고 정의역이 실수 전체의 집합이므로 함수 $g ^{- 1} \left( x \right)$의 치역은 실수 전체의 집합이다. 따라서 $f \left( x \right) = g ^{- 1} \left( x - 2 \right)$에서 함수 $f \left( x \right)$의 치역도 실수 전체의 집합이다. 그러므로 $f \left( a \right) = \alpha$, $f \left( b \right) = \beta$를 만족시키는 서로 다른 두 실수 $a$, $b$가 존재하고 ㉠에 의하여 $\displaystyle g \left( f \left( a \right) \right) = \frac{1}{k} f \left( a \right) - 2$, $\displaystyle g \left( f \left( b \right) \right) = \frac{1}{k} f \left( b \right) - 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 조건에서 $g \left( f \left( a \right) \right) = a - 2$, $g \left( f \left( b \right) \right) = b - 2$이므로 ㉡으로부터 $\displaystyle a - 2 = \frac{1}{k} f \left( a \right) - 2$, $\displaystyle b - 2 = \frac{1}{k} f \left( b \right) - 2$이다. 즉, $ka = f \left( a \right)$, $kb = f \left( b \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉢에서 두 실수 $a$, $b$는 $x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) = kx$의 두 근이다. 조건에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 직선 $y = kx$와 서로 다른 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$에서만 만나므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = kx$의 교점의 $x$좌표는 $a$ 또는 $b$이다. 한편, 원 $\left( x - 13 \right) ^{2} + \left( y - 13 \right) ^{2} = 26$의 중심을 ${\mathrm{C}}$라 하고 점 ${\mathrm{C}}$에서 선분 ${\mathrm{AB}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HC}}} = \frac{\left| 13 k - 13 \right|}{\sqrt{k ^{2} + 1}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{13}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = {\overline{\mathrm{BH}}} = \sqrt{13}$이다. 직각삼각형 ${\mathrm{AHC}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \sqrt{26}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HC}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2}$에서 $\displaystyle \frac{\left( 13 k - 13 \right) ^{2}}{k ^{2} + 1} = 26 - 13 = 13$ $k > 1$이므로 $\displaystyle k = \frac{3}{2}$이다. $\displaystyle y = \frac{3}{2} x$와 $\left( x - 13 \right) ^{2} + \left( y - 13 \right) ^{2} = 26$을 연립하면 $\displaystyle \left( x - 13 \right) ^{2} + \left( \frac{3}{2} x - 13 \right) ^{2} = 26$에서 $\displaystyle \frac{13}{4} x ^{2} - 65 x + 312 = 0$이고 $x ^{2} - 20 x + 96 = \left( x - 8 \right) \left( x - 12 \right) = 0$에서 $x = 8$ 또는 $x = 12$ 그러므로 방정식 $f \left( x \right) = kx$의 두 실근은 $8$, $12$ $\cdots$$\cdots$ (*) $\displaystyle k = \frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{3}{2} x$의 양변에 $x = 8$, $x = 12$를 대입하면 $f \left( 8 \right) = 12$, $f \left( 12 \right) = 18$이고 (*)에 의하여 $\beta - \alpha$$= f \left( 12 \right) - f \left( 8 \right)$$= 18 - 12$$= 6$ [다른 풀이] 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( f \left( x \right) \right) = x - 2$이고 함수 $g \left( x \right)$의 역함수가 존재하므로 $f \left( x \right) = g ^{- 1} \left( x - 2 \right)$이다. 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = kx$의 교점은 함수 $y = g ^{- 1} \left( x - 2 \right)$의 그래프와 직선 $y = kx$의 교점과 같다. 그리고 함수 $y = g ^{- 1} \left( x - 2 \right)$의 그래프와 그 역함수 $y = g \left( x \right) + 2$의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 또한 직선 $y = kx$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 도형은 직선 $\displaystyle y = x - \frac{1}{2}$이므로 함수 $y = g ^{- 1} \left( x - 2 \right)$의 그래프와 직선 $y = kx$의 교점은 함수 $y = g \left( x \right) + 2$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{k} x$의 교점을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 것이다. $\cdots$$\cdots$ (*) 한편, 방정식 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{k} x - 2$의 실근은 방정식 $\displaystyle g \left( x \right) + 2 = \frac{1}{k} x$의 실근과 같고 이는 함수 $y = g \left( x \right) + 2$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{k} x$의 교점의 $x$좌표이다. 그러므로 방정식 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{k} x - 2$의 두 실근의 차 $\beta - \alpha$는 함수 $y = g \left( x \right) + 2$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{k} x$의 두 교점의 $x$좌표의 차와 같고 (*)에 의하여 $\beta - \alpha$는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = kx$의 두 교점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 $y$좌표의 차와 같다. 따라서 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 $y$좌표를 각각 $a$, $b$라 하면 직선 ${\mathrm{AB}}$의 기울기가 $\displaystyle \frac{3}{2}$이므로 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표의 차는 $\displaystyle \frac{2}{3} \times \left| b - a \left| \right. \right.$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{13}$이므로 $\displaystyle \left| b - a \right| ^{2} + \left( \frac{2}{3} \left| b - a \right| \right) ^{2} = \left( 2 \sqrt{13} \right) ^{2}$에서 $\beta - \alpha = \left| b - a \left| = 6 \right. \right.$