공통수학2함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역함수와 원

문제

정의역이 {x∣x≥0}\left\{ x | x \geq 0 \right\}인 함수 f(x)=x2+3f ( x ) = x ^{2} + 3과 그 역함수 g(x)g ( x ) 에 대하여 원 CC가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 원 CC는 제1사분면에만 존재한다. (나) 원 CC는 두 함수 y=f(x),y=g(x)y = f ( x ) , y = g ( x )의 그래프와 각각 한 점에서 만난다. (다) 원 CC의 넓이는 직선 y=2x−6y = 2 x - 6에 의하여 이등분된다.

원 CC의 넓이를 aπa \pi라 할 때, 상수 aa의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 접선의 방정식을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다.

두 함수 y=f(x)y = f ( x ), y=g(x)y = g ( x )는 직선 y=xy = x에 대칭이므로 원 CC의 중심 A\mathrm{A}는 직선 y=xy = x 위에 있고 직선 y=2x−6y = 2 x - 6이 원의 중심 A\mathrm{A}를 지나므로 x=2x−6x = 2 x - 6에서 x=6x = 6 y=xy = x이므로 A(6,6){\mathrm{A}} ( 6 , 6 ) y=f(x)y = f ( x ) 위의 점 P\mathrm{P}에서의 접선과 점 P\mathrm{P}와 점 A\mathrm{A}를 지나는 직선은 수직이다. 점 P(t,t2+3){\mathrm{P}} ( t , t ^{2} + 3 )에서 f′(t)=2tf' ( t ) = 2 t이고 (t2+3)−6t−6=−12t\displaystyle \frac{( t ^{2} + 3 ) - 6}{t - 6} = - \frac{1}{2 t}이므로 2t3−5t−6=02 t ^{3} - 5 t - 6 = 0 (t−2)(2t2+4t+3)=0( t - 2 ) ( 2 t ^{2} + 4 t + 3 ) = 0이므로 t=2t = 2 P(2,7)\mathrm{P} \mathit{(} 2 , 7 )이고 원의 반지름의 길이 rr는 선분 PA\mathrm{PA}의 길이와 같으므로 r=PA‾=17\displaystyle r = \overline{\mathrm{PA}} = \sqrt{17} 따라서 원 CC의 넓이는 17π17 \pi이므로 a=17a = 17

태그

#역함수#원#대칭

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