공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수와 합성함수

문제

집합 $X = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$ 에 대하여 함수 $f : X \rightarrow X$ 가 그림과 같다.

함수 $g : X \rightarrow X$ 의 역함수가 존재하고, $g \left( 2 \right) = 3$ , $g ^{- 1} \left( 1 \right) = 3$ , $\left( g \circ f \right) \left( 2 \right) = 2$ 일 때, $g ^{- 1} \left( 4 \right) + \left( f \circ g \right) \left( 2 \right)$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

함수 $g$ 의 역함수가 존재하므로 함수 $g$ 는 일대일대응이다. $g \left( 2 \right) = 3$ $g ^{- 1} \left( 1 \right) = 3$ 이므로 $g \left( 3 \right) = 1$ $\left( g \circ f \right) \left( 2 \right) = g \left( f \left( 2 \right) \right) = 2$ , $f \left( 2 \right) = 1$ 이므로 $g \left( 1 \right) = 2$ $\therefore$ $g \left( 4 \right) = 4$ , $g ^{- 1} \left( 4 \right) = 4$ 따라서 $g ^{- 1} \left( 4 \right) + \left( f \circ g \right) \left( 2 \right)$ $= 4 + f \left( g \left( 2 \right) \right)$ $= 4 + f \left( 3 \right)$ $= 4 + 3 = 7$

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