역함수와 교점 중점

[출제의도] 지수함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 그 역함수의 그래프가 만나는 점은 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = x$가 만나는 점과 같다. $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( \alpha , a ^{\alpha} - \frac{5}{4} \right)}$, $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( \beta , a ^{\beta} - \frac{5}{4} \right)}$이라 하면 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{\alpha + \beta}{2} , \frac{a ^{\alpha} + a ^{\beta}}{2} - \frac{5}{4} \right)$ 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이 원점이므로 $\beta = - \alpha$, $\displaystyle a ^{\alpha} + a ^{\beta} - \frac{5}{2} = 0$ $\displaystyle a ^{\alpha} + a ^{- \alpha} - \frac{5}{2} = 0$, $2 a ^{2 \alpha} - 5 a ^{\alpha} + 2 = 0$, $\left( 2 a ^{\alpha} - 1 \right) \left( a ^{\alpha} - 2 \right) = 0$ $\displaystyle \therefore a ^{\alpha} = \frac{1}{2}$ 또는 $a ^{\alpha} = 2$ ⅰ) $\displaystyle a ^{\alpha} = \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle a ^{\alpha} - \frac{5}{4} = \alpha$이므로 $\displaystyle \alpha = - \frac{3}{4}$ $\displaystyle \therefore a = 2 \sqrt[3]{2}$ ⅱ) $a ^{\alpha} = 2$일 때 $\displaystyle a ^{\alpha} - \frac{5}{4} = \alpha$이므로 $\displaystyle \alpha = \frac{3}{4}$ $\displaystyle \therefore a = 2 \sqrt[3]{2}$ 따라서 $a ^{3} = 16$