역함수와 교점 조건

함수 $f ( x )$의 역함수 $f ^{- 1} ( x )$가 존재하므로 $f ( x )$는 증가함수이거나 감소함수이다. (ⅰ) $f ( x )$가 증가함수일 때 $f ( x )$가 증가함수이므로 두 곡선 $y = f ( x )$와 $y = f ^{- 1} ( x )$의 교점은 $y = x$ 위에만 존재한다. 따라서 $f ( - 1 ) = \mathit{-} 1 , f ( 1 ) = 1 , f ( 2 ) = 2$이 성립한다. 주어진 조건에 대입하면 $\displaystyle f ( 1 ) = c + \frac{5}{2} = 1$에서 $\displaystyle c = \mathit{-} \frac{3}{2}$이고 $f ( 2 ) = 4 c + 5 = 2$에서 $\displaystyle c = \mathit{-} \frac{3}{4}$이므로 모순이다. (ⅱ) $f ( x )$가 감소함수일 때 $f ( x )$가 감소함수이므로 곡선 $y = f ( x )$는 $y = x$와 한 점에서 만나고, $y = f ^{- 1} ( x )$와 두 점에서 만난다. 두 곡선 $y = f ( x )$와 $y = f ^{- 1} ( x )$의 두 교점은 $y = x$에 대하여 대칭이므로 $y = f ( x )$는 $y = x$와 $x = 1$에서 만나고, $y = f ^{- 1} ( x )$와 $x = \mathit{-} 1 , 2$에서 만난다. 따라서 세 교점의 좌표는 $( - 1 , 2 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , - 1 )$가 된다. 이를 주어진 조건에 대입하면 $\displaystyle f ( - 1 ) = \mathit{-} a + b = 2 , f ( 1 ) = a + b = c + \frac{5}{2} = 1 , f ( 2 ) = 4 c + 5 = \mathit{-} 1$ 이다. 위의 연립방정식을 풀면 $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{1}{2} , b = \frac{3}{2} , c = \mathit{-} \frac{3}{2}$을 얻을 수 있다. $\therefore 2 a + 4 b - 10 c = \mathit{-} 1 + 6 + 15 = 20$