미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

역함수와 교점

문제

함수 f(x)=−kx3x2+1\displaystyle f ( x ) = \mathit{-} \frac{kx ^{3}}{x ^{2} + 1}(k>1)\left( k > 1 \right)에 대하여 곡선 y=f(x)y = f ( x )와 곡선 y=f−1(x)y = f ^{- 1} ( x )가 만나는 점의 xx좌표 중 가장 작은 값을 α\alpha, 가장 큰 값을 β\beta라 하자. 함수 y=f(x−2β)+2αy = f ( x - 2 \beta ) + 2 \alpha의 역함수 g(x)g ( x )에 대하여 f′(β)=2g′(α)f' ( \beta ) = 2 g' ( \alpha )일 때, 상수 kk의 값은? [4점] ①5+227\displaystyle \frac{5 + 2 \sqrt{2}}{7}②6+227\displaystyle \frac{6 + 2 \sqrt{2}}{7}③4+225\displaystyle \frac{4 + 2 \sqrt{2}}{5}④5+225\displaystyle \frac{5 + 2 \sqrt{2}}{5}⑤6+225\displaystyle \frac{6 + 2 \sqrt{2}}{5}

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②

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해설

[출제의도] 역함수의 성질과 역함수의 미분법을 이용하여 문제를 해결한다. f′(x)f' ( x )=−3kx2(x2+1)−kx3(2x)(x2+1)2\displaystyle = \mathit{-} \frac{3 kx ^{2} \left( x ^{2} + 1 \right) - kx ^{3} \left( 2 x \right)}{\left( x ^{2} + 1 \right) ^{2}}=−k(x2+3)x2(x2+1)2\displaystyle = \mathit{-} \frac{k \left( x ^{2} + 3 \right) x ^{2}}{\left( x ^{2} + 1 \right) ^{2}} 이므로 모든 실수 xx에 대하여 f′(x)≤0f' ( x ) \leq 0이다. 따라서 함수 f(x)f ( x )는 실수 전체의 집합에서 감소한다. ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ 두 곡선 y=f(x)y = f ( x ), y=f−1(x)y = f ^{- 1} ( x )의 임의의 한 교점을 (a,b)( a , b )라 하면 점 (b,a)( b , a )도 교점이다. f(−x)f ( - x )=−f(x)= \mathit{-} f ( x )에서 그래프가 원점에 대하여 대칭이므로 곡선 y=f(x)y = f ( x )는 점 (−a,−b)( - a , - b )를 지난다. 따라서 곡선 y=f(x)y = f ( x )는 두 점 (b,a)( b , a ), (−a,−b)( - a , - b )를 지난다. a≠−ba \ne \mathit{-} b이면 두 점 (b,a)( b , a ), (−a,−b)( - a , - b )를 지나는 직선의 기울기는 a−(−b)b−(−a)\displaystyle \frac{a - ( - b )}{b - ( - a )}=1= 1이므로 ㉠에 모순이다. 따라서 a=−ba = \mathit{-} b이고 두 곡선 y=f(x)y = f ( x ), y=f−1(x)y = f ^{- 1} ( x )의 교점은 모두 직선 y=−xy = \mathit{-} x 위에 있다.

f(x)=−xf ( x ) = \mathit{-} x에서 −kx3x2+1=−x\displaystyle - \frac{kx ^{3}}{x ^{2} + 1} = \mathit{-} x이고 방정식을 풀면 x=−1k−1\displaystyle x = \mathit{-} \sqrt{\frac{1}{k - 1}} 또는 x=0x = 0 또는 x=1k−1\displaystyle x = \sqrt{\frac{1}{k - 1}} 이므로 α=−1k−1\displaystyle \alpha = \mathit{-} \sqrt{\frac{1}{k - 1}}, β=1k−1\displaystyle \beta = \sqrt{\frac{1}{k - 1}}이다. 함수 h(x)=f(x−2β)+2αh ( x ) = f ( x - 2 \beta ) + 2 \alpha라 하면 h(β)=f(−β)+2αh ( \beta ) = f ( - \beta ) + 2 \alpha=f(α)+2α= f ( \alpha ) + 2 \alpha=β+2α=α= \beta + 2 \alpha = \alpha 따라서 g(α)=βg ( \alpha ) = \beta이므로 역함수의 미분법에 의하여 g′(α)=1h′(β)\displaystyle g' ( \alpha ) = \frac{1}{h' ( \beta )}이고, h′(x)=f′(x−2β)h' ( x ) = f' ( x - 2 \beta )이므로 g′(α)=1f′(−β)\displaystyle g' ( \alpha ) = \frac{1}{f' ( - \beta )} ⋯⋯\cdots \cdots ㉡ f(−x)=−f(x)f ( - x ) = \mathit{-} f ( x )의 양변을 미분하여 정리하면 f′(−x)=f′(x)f' ( - x ) = f' ( x )이므로 f′(−β)=f′(β)f' ( - \beta ) = f' ( \beta ) 따라서 ㉡에서 g′(α)=1f′(β)\displaystyle g' ( \alpha ) = \frac{1}{f' ( \beta )}이므로 f′(β)=2g′(α)=2f′(β)\displaystyle f' ( \beta ) = 2 g' ( \alpha ) = \frac{2}{f' ( \beta )}에서 {f′(β)}2=2\left\{ f' ( \beta ) \right\} ^{2} = 2 ㉠에서 f′(β)=−2\displaystyle f' ( \beta ) = \mathit{-} \sqrt{2} f′(β)f' ( \beta )=−k(1k−1+3)(1k−1)(1k−1+1)2\displaystyle = \mathit{-} \frac{k \left( \frac{1}{k - 1} + 3 \right) \left( \frac{1}{k - 1} \right)}{\left( \frac{1}{k - 1} + 1 \right) ^{2}}=−3k−2k\displaystyle = \mathit{-} \frac{3 k - 2}{k}=−2\displaystyle = \mathit{-} \sqrt{2} kk=23−2\displaystyle = \frac{2}{3 - \sqrt{2}}=6+227\displaystyle = \frac{6 + 2 \sqrt{2}}{7}

태그

#역함수의 미분법#평행이동

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