역함수의 미분이 든 적분식

함수 $g \left( x \right)$는 함수 $f \left( x \right)$의 역함수이므로 $g \left( f \left( x \right) \right) = x$ 이 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g' \left( f \left( x \right) \right) f' \left( x \right) = 1$ 이때 $g' \left( f \left( x \right) \right) f \left( x \right) \neq 0$이므로 $g' \left( f \left( x \right) \right) \neq 0$, $f \left( x \right) \neq 0$ 즉 $g' \left( f \left( x \right) \right) f' \left( x \right) f \left( x \right) = f \left( x \right)$에서 $\displaystyle g' \left( f \left( x \right) \right) f \left( x \right) = \frac{f \left( x \right)}{f' \left( x \right)}$ $\therefore$ $\displaystyle \int _{1} ^{a} {} {\frac{1}{g' \left( f \left( x \right) \right) f \left( x \right)}} dx$$\displaystyle = \int _{1} ^{a} {} \frac{f' \left( x \right)}{f \left( x \right)} dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \ln \left| f \left( x \right) \right| \end{array} \right] _{1} ^{a}$ $= \ln f \left( a \right) - \ln f \left( 1 \right)$ $\ln f \left( a \right) - \ln f \left( 1 \right) = 2 \ln a + \ln \left( a + 1 \right) - \ln 2$에서 $f \left( 1 \right) = 8$이므로 $f \left( a \right) = 4 a ^{2} \left( a + 1 \right)$ $\therefore$ $f \left( 2 \right)$$= 4 \times 2 ^{2} \times \left( 2 + 1 \right)$$= 48$