역함수의 미분계수

$e ^{2 f \left( x \right)} - e ^{f \left( 2 x \right)} - 2 e ^{3 x} = 0$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $2 f' \left( x \right) e ^{2 f \left( x \right)} - 2 f' \left( 2 x \right) e ^{f \left( 2 x \right)} - 6 e ^{3 x} = 0$ $x = 0$을 대입하면 $2 f' \left( 0 \right) e ^{2 f \left( 0 \right)} - 2 f' \left( 0 \right) e ^{f \left( 0 \right)} - 6 = 0$ $f' \left( 0 \right) \left( e ^{2 f \left( 0 \right)} - e ^{f \left( 0 \right)} \right) = 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $e ^{2 f \left( x \right)} - e ^{f \left( 2 x \right)} - 2 e ^{3 x} = 0$에 $x = 0$을 대입하면 $e ^{2 f \left( 0 \right)} - e ^{f \left( 0 \right)} - 2 = 0$ $e ^{2 f \left( 0 \right)} - e ^{f \left( 0 \right)} = 2$ 이므로 ㉠에서 $\displaystyle f' \left( 0 \right) = \frac{3}{2}$ 따라서 $\displaystyle g' \left( f \left( 0 \right) \right) = \frac{1}{f' \left( 0 \right)} = \frac{2}{3}$