미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수의 미분

문제

함수 $f ( x ) = e ^{2 x} + e ^{x} - 1$ 의 역함수를 $g ( x )$ 라 할 때, 함수 $g ( 5 f ( x ) )$ 의 $x = 0$ 에서의 미분계수는? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ② $\displaystyle \frac{3}{4}$ ③ $1$ ④ $\displaystyle \frac{5}{4}$ ⑤ $\displaystyle \frac{3}{2}$

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⑤

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해설

[출제의도] 역함수의 미분법을 이해하여 미분계수를 구한다. $f' ( x ) = 2 e ^{2 x} + e ^{x}$ 에서 $f' ( 0 ) = 3$ $h ( x ) = g ( 5 f ( x ) )$ 라 하면 $f ( 0 ) = 1$ 이므로 $h' ( 0 )$ $= g' ( 5 f ( 0 ) ) \times 5 f' ( 0 )$ $= 15 g' ( 5 )$ $g ( 5 ) = t$ 로 놓으면 $f ( t ) = 5$ 에서 $e ^{2 t} + e ^{t} - 1 = 5$ , $( e ^{t} - 2 ) ( e ^{t} + 3 ) = 0$ $e ^{t} > 0$ 이므로 $e ^{t} = 2$ , 즉 $t = \ln 2$ $f' ( \ln 2 ) = 2 e ^{2 \ln 2} + e ^{\ln 2} = 10$ 따라서 $h' ( 0 )$ $= 15 g' ( 5 )$ $\displaystyle = 15 \times \frac{1}{f' ( \ln 2 )}$ $\displaystyle = \frac{3}{2}$

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