역함수의 미분

$g \left( a \right) = b$라 하면 $f \left( b \right) = a$이므로 $e ^{3 b} - 3 e ^{2 b} + 4 e ^{b} = a$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $f \left( x \right) = e ^{3 x} - 3 e ^{2 x} + 4 e ^{x}$에서 $f' \left( x \right) = 3 e ^{3 x} - 6 e ^{2 x} + 4 e ^{x}$ 이므로 $\displaystyle g' \left( a \right) = \frac{1}{f' \left( b \right)} = \frac{1}{3 e ^{3 b} - 6 e ^{2 b} + 4 e ^{b}}$ 이때 $\displaystyle g' \left( a \right) = \frac{1}{8}$에서 $\displaystyle \frac{1}{3 e ^{3 b} - 6 e ^{2 b} + 4 e ^{b}} = \frac{1}{8}$ $e ^{b} = t \left( t > 0 \right)$로 놓으면 $\displaystyle \frac{1}{3 t ^{3} - 6 t ^{2} + 4 t} = \frac{1}{8}$, $3 t ^{3} - 6 t ^{2} + 4 t = 8$ $3 t ^{3} - 6 t ^{2} + 4 t - 8 = 0$, $\left( t - 2 \right) \left( 3 t ^{2} + 4 \right) = 0$ $\therefore$ $t = 2 \left( \because 3 t ^{2} + 4 > 0 \right)$ 즉 $e ^{b} = 2$이므로 $b = \ln 2$ ㉠에 $b = \ln 2$를 대입하면 $a = e ^{3 \ln 2} - 3 e ^{2 \ln 2} + 4 e ^{\ln 2} = 8 - 12 + 8 = 4$ $\therefore$ $a + f' \left( g \left( a \right) \right)$$= 4 + f' \left( b \right)$ $\displaystyle = 4 + \frac{1}{g' \left( a \right)}$$= 4 + 8$$= 12$