미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수의 정적분 값

문제

함수 f(x)=(x−1)3+(x−1)f ( x ) = ( x - 1 ) ^{3} + ( x - 1 )의 역함수를 g(x)g ( x )라 할 때, ∫210g(x)dx\displaystyle \int _{2} ^{10} g ( x ) dx의 값은? [4점] ①514\displaystyle \frac{51}{4}②594\displaystyle \frac{59}{4}③674\displaystyle \frac{67}{4}④754\displaystyle \frac{75}{4}⑤834\displaystyle \frac{83}{4}

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⑤

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해설

∫210g(x)dx=(30−4)−∫23f(x)dx\displaystyle \int _{2} ^{10} g ( x ) dx = ( 30 - 4 ) - \int _{2} ^{3} f ( x ) dx ∫23f(x)dx=\displaystyle \int _{2} ^{3} f ( x ) dx =∫23{(x−1)3+(x−1)}dx\displaystyle \int _{2} ^{3} \left\{ ( x - 1 ) ^{3} + ( x - 1 ) \} dx \right. =[14(x−1)4+12(x−1)]23\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} ( x - 1 ) ^{4} + \frac{1}{2} ( x - 1 ) \right] _{2} ^{3} =214\displaystyle = \frac{21}{4} ∴\therefore ∫210g(x)dx=26−214=834\displaystyle \int _{2} ^{10} g ( x ) dx = 26 - \frac{21}{4} = \frac{83}{4}

태그

#역함수#정적분

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