미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

역함수의 정적분

문제

함수 f(x)=x3+x−1f ( x ) = x ^{3} + x - 1의 역함수를 g(x)g ( x )라 할 때, ∫19g(x)dx\displaystyle \int _{1} ^{9} {g ( x ) dx}의 값은? [4점]

①474\displaystyle \frac{47}{4}②494\displaystyle \frac{49}{4}③514\displaystyle \frac{51}{4}④534\displaystyle \frac{53}{4}⑤554\displaystyle \frac{55}{4}

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③

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해설

[출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

그림에서 어두운 두 부분의 넓이가 같으므로 ∫19g(x)dx=18−1−∫12f(x)dx=18−1−∫12(x3+x−1)dx=17−[14x4+12x2−x]12=17−174=514\displaystyle \begin{aligned} \int _{1} ^{9} {g \left( x \right)} dx & = 18 - 1 - \int _{1} ^{2} {f ( x ) dx} \\ & = 18 - 1 - \int _{1} ^{2} {\left( x ^{3} + x - 1 \right) dx} \\ & = 17 - \left[ \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{1}{2} x ^{2} - x \right] _{1} ^{2} \\ & = 17 - \frac{17}{4} = \frac{51}{4} \end{aligned}

태그

#역함수#넓이

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