역함수의 정적분

함수 $f \left( x \right)$의 역함수를 $g \left( x \right)$라 하면, $f \left( x \right) , g \left( x \right)$는 $y = x$에 대칭이므로 함수 $g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

이때, $\displaystyle \int _{0} ^{e} {} g \left( x \right) dx$는 어두운 부분의 넓이와 같으므로 구하는 넓이는 가로의 길이가 $1$이고 세로의 길이가 $e$인 직사각형의 넓이에서 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {} f \left( x \right) dx$를 빼면된다. $\therefore$$\displaystyle \int _{0} ^{e} {} g \left( x \right) dx$$\displaystyle = 1 \times e - \int _{0} ^{1} {} f \left( x \right) dx$ $\displaystyle = e - \int _{0} ^{1} {} xe ^{x} dx$$\displaystyle = e - \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} xe ^{x} \end{array} \right] _{0} ^{1} - \int _{0} ^{1} {} e ^{x} dx \end{array} \right\}$ $\displaystyle = e - \left\{ \begin{array}{l} e - \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} e ^{x} \end{array} \right] _{0} ^{1} \end{array} \right\}$ $= e - e + \left( e - 1 \right)$ $= e - 1$