역함수 포함 정적분

[출제의도] 함수와 그 함수의 역함수의 미분법을 이해하여 정적분의 값을 구한다. $f ( g ( x ) ) = x$, $g ( f ( x ) ) = x$이므로 $f' ( g ( x ) ) g' ( x ) = 1$, $g' ( f ( x ) ) f' ( x ) = 1$ 따라서 $\displaystyle \int _{1} ^{3} {\left\{ \frac{f ( x )}{f' ( g ( x ) )} + \frac{g ( x )}{g' ( f ( x ) )} \right\}} dx$ $\displaystyle = \int _{1} ^{3} {\left\{ f ( x ) g' ( x ) + g ( x ) f' ( x ) \right\}} dx$ $\displaystyle = \int _{1} ^{3} {\left\{ f ( x ) g ( x ) \right\}'} dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} f ( x ) g ( x ) \end{array} \right] _{1} ^{3}$ $= f ( 3 ) g ( 3 ) - f ( 1 ) g ( 1 )$ $f ( 1 ) = 3$에서 $g ( 3 ) = 1$, $g ( 1 ) = 3$에서 $f ( 3 ) = 1$ 따라서 $f ( 3 ) g ( 3 ) - f ( 1 ) g ( 1 )$$= 1 \times 1 - 3 \times 3$$= \mathit{-} 8$