역함수 미분계수 비

함수 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \begin{cases} \left( x - a - 2 \right) ^{2} e ^{x} & \left( x \geq a \right) \\ e ^{2a} \left( x - a \right) + 4 e ^{a} & \left( x < a \right) \end{cases}$ 의 그래프는 아래와 같다.

함수 $f \left( x \right)$는 $f \left( a \right) = 4 e ^{a}$이고 함수 $g \left( t \right)$의 그래프는 $t = 4 e ^{a}$에서만 불연속이므로 $4 e ^{a} = 12$ $\therefore$ $e ^{a} = 3$, $a = \ln 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $t \leq 12$일 때 직선 $y = t$와 함수 $y = e ^{2a} \left( x - a \right) + 4 e ^{a}$가 만나는 점의 $x$좌표는 $\displaystyle x = \frac{t - 4 e ^{a}}{e ^{2a}} + a$ 이고 ㉠에 의하여 $\displaystyle x = \frac{t - 12}{9} + \ln 3$ $t > 12$일 때 직선 $y = t$와 함수 $y = f \left( x \right)$가 만나는 점의 $x$좌표를 $h \left( t \right)$라 하면 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \begin{cases} \frac{t - 12}{9} + \ln 3 & \left( t \leq 12 \right) \\ h \left( t \right) & \left( t > 12 \right) \end{cases}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이고 $f \left( h \left( t \right) \right) = t$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 이므로 ㉢의 양변을 $t$에 관하여 미분하면 $f' \left( h \left( t \right) \right) h' \left( t \right) = 1$, $\displaystyle h' \left( t \right) = \frac{1}{f' \left( h \left( t \right) \right)}$ ㉡의 양변을 $t$에 관하여 미분하면 $g' \left( t \right)$$\displaystyle = \begin{cases} \frac{1}{9} & \left( t \leq 12 \right) \\ \frac{1}{f' \left( h \left( t \right) \right)} & \left( t > 12 \right. ) \end{cases}$ 한편, $f \left( a + 2 \right) = 0$, $f \left( a + 6 \right)$$= 16 e ^{a+6}$$= 48 e ^{6}$ 이고 $f' \left( x \right)$$\displaystyle = \begin{cases} \left( x - \ln 3 - 2 \right) \left( x - \ln 3 \right) e ^{x} & \left( x > \ln 3 \right) \\ 9 & \left( x < \ln 3 \right) \end{cases}$ 이므로 $g' \left( f \left( a + 2 \right) \right)$$= g' \left( 0 \right)$$\displaystyle = \frac{1}{9}$ $g' \left( f \left( a + 6 \right) \right)$$= g' \left( a + 6 \right)$ $= g' \left( 48 e ^{6} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{f' \left( a + 6 \right)}$($\because$ $h \left( 48 e ^{6} \right) = a + 6$) $\displaystyle = \frac{1}{f' \left( 6 + \ln 3 \right)}$ $\displaystyle = \frac{1}{4 \times 6 \times 3 \times e ^{6}}$$\displaystyle = \frac{1}{72} e ^{-6}$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{g' \left( f \left( a + 2 \right) \right)}{g' \left( f \left( a + 6 \right) \right)}$$\displaystyle = \frac{1}{9} \times 72 \times e ^{6}$ $= 8 e ^{6}$