미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수 미분계수

문제

구간 (−1,∞)( - 1 , \infty )에서 정의된 함수 f(x)=xex+ef ( x ) = xe ^{x} + e의 역함수를 g(x)g ( x )라 할 때, 60g′(e)60 g' ( e )의 값을 구하시오. [3점]

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60

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해설

[출제의도] 역함수의 미분법을 이해하여 주어진 함수의 미분계수를 구한다. g(e)=ag ( e ) = a라 하면, f(a)=ef ( a ) = e f(a)=aea+e=ef ( a ) = ae ^{a} + e = e 그러므로 a=0a = 0 f′(x)=(x+1)exf' ( x ) = ( x + 1 ) e ^{x} f′(0)=(0+1)e0=1f' ( 0 ) = ( 0 + 1 ) e ^{0} = 1 g′(e)=1f′(g(e))=1f′(0)=1\displaystyle g' ( e ) = \frac{1}{f' ( g ( e ) )} = \frac{1}{f' ( 0 )} = 1 따라서 60g′(e)=60×1=6060 g' ( e ) = 60 \times {1} = 60

태그

#역함수의 미분법#지수함수

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