역함수 미분 조건

[출제의도] 여러 가지 미분법을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. $f ( e ) = k$, $f' ( e ) = e$이므로 $g ( k ) = e$, $\displaystyle g' ( k ) = \frac{1}{e}$ 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle g' ( x ) \leq g' ( k ) = \frac{1}{e}$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f' ( x ) \geq f' ( e ) = e$ $f' ( x ) = 2 x \ln x + x + 2 ax + b$$= 2 x \ln x + ( 2 a + 1 ) x + b$ $\cdots$㉠ $f'' ( x ) = 2 \ln x + 3 + 2 a$ $f' ( x )$는 미분가능한 함수이고 $x = e$에서 최솟값을 가지므로 $f'' ( e ) = 5 + 2 a = 0$에서 $\displaystyle a = - \frac{5}{2}$ 이다. ㉠에서 $f' ( e ) = 2 e - 4 e + b = e$이므로 $b = 3 e$ $\displaystyle f ( x ) = x ^{2} \ln x - \frac{5}{2} x ^{2} + 3 ex$이고 $f ( e ) = k$이므로 $\displaystyle f ( e ) = \frac{3}{2} e ^{2} = k$ 따라서 $\displaystyle f \left( \frac{2}{3} k \right) = f ( e ^{2} ) = 2 e ^{4} - \frac{5}{2} e ^{4} + 3 e ^{3} = - \frac{1}{2} e ^{4} + 3 e ^{3}$