역함수 미분 극한

점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $u$, 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 $v$라 하자. 두 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( u , t \right)}$, $\left( v , g \left( t \right) \right)$가 곡선 $y = e ^{2 x} - e ^{- x} + 1$ 위에 있으므로 $e ^{2 u} - e ^{- u} + 1 = t$, $e ^{2 v} - e ^{- v} + 1 = g \left( t \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 두 점 $\left( u , f \left( t \right) \right)$, $\mathrm{Q} \mathit{\left( v , t \right)}$가 곡선 $y = e ^{2 x}$ 위에 있으므로 $e ^{2 u} = f \left( t \right)$, $e ^{2 v} = t$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠의 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \left( 2 e ^{2 u} + e ^{- u} \right) \frac{du}{dt} = 1$, $\displaystyle \left( 2 e ^{2 v} + e ^{- v} \right) \frac{dv}{dt} = g' \left( t \right)$ ㉡의 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 2 e ^{2 u} \frac{du}{dt} = f' \left( t \right)$, $\displaystyle 2 e ^{2 v} \frac{dv}{dt} = 1$ $2 e ^{2 u} + e ^{- u} > 0$이므로 $\displaystyle \frac{du}{dt} = \frac{1}{2 e ^{2 u} + e ^{- u}}$, $\displaystyle f' \left( t \right) = \frac{2 e ^{2 u}}{2 e ^{2 u} + e ^{- u}}$ $2 e ^{2 v} > 0$이므로 $\displaystyle \frac{dv}{dt} = \frac{1}{2 e ^{2 v}}$, $\displaystyle g' \left( t \right) = \frac{2 e ^{2 v} + e ^{- v}}{2 e ^{2 v}}$ 두 함수 $y = e ^{2 x}$, $y = e ^{2 x} - e ^{- x} + 1$ 모두 증가함수이고 일대일함수이며, 그래프가 점 $\left( 0 , 1 \right)$을 지나므로 $t \rightarrow 1$일 때 $u \rightarrow 0$, $v \rightarrow 0$이다. $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1} {f' \left( t \right)} = \lim\limits _{u \rightarrow 0} {\frac{2 e ^{2 u}}{2 e ^{2 u} + e ^{- u}}} = \frac{2}{3}$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1} {g' \left( t \right)} = \lim\limits _{v \rightarrow 0} {\frac{2 e ^{2 v} + e ^{- v}}{2 e ^{2 v}}} = \frac{3}{2}$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1} {\frac{9 f' \left( t \right) - 4 g' \left( t \right)}{t - 1}}$에서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1} {\frac{9 f' \left( t \right) - 4 g' \left( t \right)}{t - 1}}$ $\displaystyle = 9 \times \lim\limits _{t \rightarrow 1} {\frac{f' \left( t \right) - \frac{2}{3}}{t - 1}} - 4 \times \lim\limits _{t \rightarrow 1} {\frac{g' \left( t \right) - \frac{3}{2}}{t - 1}}$ $\displaystyle = 9 \times \lim\limits _{u \rightarrow 0} {\frac{\frac{2 e ^{2 u}}{2 e ^{2 u} + e ^{- u}} - \frac{2}{3}}{\left( e ^{2 u} - e ^{- u} + 1 \right) - 1}}$$\displaystyle - 4 \times \lim\limits _{v \rightarrow 0} {\frac{\frac{2 e ^{2 v} + e ^{- v}}{2 e ^{2 v}} - \frac{3}{2}}{e ^{2 v} - 1}}$ $\displaystyle = 9 \times \lim\limits _{u \rightarrow 0} {\frac{2 e ^{u}}{3 + 6 e ^{3 u}}} + 4 \times \lim\limits _{v \rightarrow 0} {\frac{e ^{- 2 v} \left( 1 + e ^{v} + e ^{- v} \right)}{2 \left( 1 + e ^{v} \right)}}$ $\displaystyle = 9 \times \frac{2}{9} + 4 \times \frac{3}{4} = 5$