역함수 미분 개수 합

$f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} - ax - a$의 역함수가 존재하려면 모든 실수 $x$에 대하여 $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax - a \geq 0$ 이다. 따라서 $D / 4 = a ^{2} + 3 a = a ( a + 3 ) \leq 0$, $- 3 \leq a \leq 0$ 이제 $f ( k ) = n$이라고 하면 $g ( n ) = k$이고

$\displaystyle n \times g' ( n ) = \frac{n}{f' ( k )} = \frac{f ( k )}{f' ( k )} = 1$ 이므로 $n \times g' ( n ) = 1$을 만족시키는 경우는 $f ( k ) = f' ( k )$$= n$ 그러므로 자연수 $n$에 대하여 $- 3 \leq a \leq 0$, $f ( k ) = f' ( k )$$= n$ 을 만족시키는 실수 $a$의 개수를 알아보면 된다. $f ( k ) = f' ( k )$에서 $k ^{3} + ak ^{2} - ak - a = 3 k ^{2} + 2 ak - a$ $k ^{3} + ( a - 3 ) k ^{2} - 3 ak = 0$, $k ( k - 3 ) ( k + a ) = 0$ 따라서 $k = 0$ 또는 3 또는 $- a$인데, 각각에 대하여 $f' ( k ) = n$ 을 풀면 i) $k = 0$ 이면 $- a = n$ ii) $k = 3$ 이면 $27 + 5 a = n$ iii) $k = - a$ 이면 $a ^{2} - a = n$ 이제 자연수 $n$에 대하여 위의 등식 i), ii), iii) 을 만족하는 실수 $a$ ($- 3 \leq a \leq 0$)의 개수를 구해본다. 그림에서와 같이 $a _{1} = a _{2} = a _{3} = 2$, $a _{4} = a _{5} = \cdots = a _{27} = 1$ 이다. $\therefore$ $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{27} a _{n} = 30$