미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역함수 미분 빈칸

문제

미분가능한 함수 f(x)f ( x )와 f(x)f ( x )의 역함수 g(x)g ( x )가 g(3f(x)−2ex+e2x)=x\displaystyle g \left( 3 f ( x ) - \frac{2}{e ^{x} + e ^{2 x}} \right) = x를 만족시킬 때, 다음은 g′(12)\displaystyle g' \left( \frac{1}{2} \right)의 값을 구하는 과정이다.

g(3f(x)−2ex+e2x)=x\displaystyle g \left( 3 f ( x ) - \frac{2}{e ^{x} + e ^{2 x}} \right) = x에서 3f(x)−2ex+e2x=g−1(x)\displaystyle 3 f ( x ) - \frac{2}{e ^{x} + e ^{2 x}} = g ^{-1} ( x )이므로 f(x)=1□(가)\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{\square {( \text{가} )}} 이다. f(x)f ( x )의 도함수를 구하면 f′(x)=−ex−2e2x(□(가))2\displaystyle f' ( x ) = \frac{- e ^{x} - 2 e ^{2 x}}{\left( \square {( \text{가} )} \right) ^{2}} 이다. f(0)=12\displaystyle f \left( 0 \right) = \frac{1}{2}이므로 g(12)=0\displaystyle g \left( \frac{1}{2} \right) = 0이다. 그러므로 g′(12)=□(나)\displaystyle g' \left( \frac{1}{2} \right) = \square {( \text{나} )} 이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 h(x)h ( x ), (나)에 알맞은 수를 pp라 할 때, p×h(ln⁡2)p \times h ( \ln 2 )의 값은? [4점] ①−8- 8②−4- 4③00④44⑤88

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①

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해설

[출제의도] 역함수의 미분법 추론하기

g(3f(x)−2ex+e2x)=x\displaystyle g \left( 3 f ( x ) - \frac{2}{e ^{x} + e ^{2 x}} \right) = x에서 3f(x)−2ex+e2x=g−1(x)\displaystyle 3 f ( x ) - \frac{2}{e ^{x} + e ^{2 x}} = g ^{- 1} ( x )이므로 f(x)=1□ex+e2x\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{{\square {e ^{x} + e ^{2 x}}}} 이다. f(x)f ( x )의 도함수를 구하면 f′(x)=−ex−2e2x(□ex+e2x)2\displaystyle f' ( x ) = \frac{- e ^{x} - 2 e ^{2 x}}{\left( {\square {e ^{x} + e ^{2 x}}} \right) ^{2}} 이다. f(0)=12\displaystyle f \left( 0 \right) = \frac{1}{2}이므로 g(12)=0\displaystyle g \left( \frac{1}{2} \right) = 0이다. 그러므로 g′(12)=1f′(g(12))=1f′(0)=□−43\displaystyle g' \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{f' \left( g \left( \frac{1}{2} \right) \right)} = \frac{1}{f' ( 0 )} = {\square {- \frac{4}{3}}} 이다.

h(x)=ex+e2xh ( x ) = e ^{x} + e ^{2 x}, p=−43\displaystyle p = - \frac{4}{3} 따라서 (−43)×h(ln⁡2)=−8\displaystyle \left( - \frac{4}{3} \right) \times h ( \ln 2 ) = - 8

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