역함수 미분

함수 $h \left( x \right) = \left\{ g \left( x \right) \right\} ^{2}$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $h' \left( x \right) = 2 g \left( x \right) g' \left( x \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 함수 $f \left( x \right) = \ln \left( e ^{x} + 2 \right)$의 역함수가 $g \left( x \right)$이므로 $f \left( \ln 2 \right) = \ln 4$, $g \left( \ln 4 \right) = \ln 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $f \left( g \left( x \right) \right) = x$이므로 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f' \left( g \left( x \right) \right) g' \left( x \right) = 1$, $\displaystyle g' \left( x \right) = \frac{1}{f' \left( g \left( x \right) \right)}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 한편, 함수 $f \left( x \right) = \ln \left( e ^{x} + 2 \right)$을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 2}$ 이고, $\displaystyle f' \left( \ln 2 \right) = \frac{2}{2 + 2} = \frac{1}{2}$이므로 ㉢에 의하여 $g' \left( \ln 4 \right)$$\displaystyle = \frac{1}{f' \left( g \left( \ln 4 \right) \right)}$$\displaystyle = \frac{1}{f' \left( \ln 2 \right)}$$= 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ ㉠에서 등식의 양변에 $x = \ln 4$를 대입하면 $h' \left( \ln 4 \right)$$= 2 g \left( \ln 4 \right) g' \left( \ln 4 \right)$ $= 2 \times \ln 2 \times 2$$= 4 \ln 2$ ($\because$ ㉡, ㉣)